فرمول مساحت مربع و روش‌های مختلف محاسبه آن با ذکر مثال

فرمول مساحت مربع برابر «یک ضلع ضربدر خودش» است. در این آموزش، به معرفی فرمول مساحت مربع و روش‌های مختلف محاسبه مساحت به همراه حل چندین مثال متنوع می‌پردازیم.

مربع چیست؟

مربع، یک شکل چهار ضلعی است که تمام ضلع‌های آن با هم و تمام زاویه‌های آن با هم برابر هستند. این چند ضلعی، یکی از شکل‌های هندسی پایه محسوب می‌شود.

مساحت مربع چیست؟

مساحت مربع، اندازه سطح آن است. این اندازه، محدوده داخل ضلع‌های مربع را نمایش می‌دهد.

به عنوان مثال، ضلع‌های یک مربع را رسم کرده و سطح آن را به طور کامل رنگ می‌کنیم، اندازه بخش رنگی، مساحت مربع را نمایش می‌دهد.

فرمول مساحت مربع چیست؟

مساحت مربع از ضرب یک ضلع در خودش به دست می‌آید. فرمول مساحت مربع به صورت زیر نوشته می‌شود:

خودش × یک ضلع = مساحت مربع

به عنوان مثال، مربعی به ضلع 1 سانتی‌متر را در نظر بگیرید. مساحت این مربع مطابق با رابطه بالا، به صورت زیر محاسبه می‌شود:

1 × 1 = مساحت مربع

1 = مساحت مربع

در نتیجه، مساحت مربعی به ضلع 1 سانتی‌متر برابر 1 سانتی‌متر مربع است. مساحت تمام شکل‌های هندسی به صورت میلی‌متر مربع، سانتی‌متر مربع، متر مربع و غیره بیان می‌شود. این کار به ما کمک می‌کند تا بتوانیم مساحت دو یا چند شکل را با هم مقایسه کنیم.

مثال 1: محاسبه مساحت مربعی به ضلع 4 متر

اگر اندازه ضلع یک مربع برابر 4 متر باشد، مساحت آن چقدر است؟

در بخش قبلی گفتیم که مساحت مربع از رابطه زیر به دست می‌آید:

خودش × یک ضلع = مساحت مربع

اندازه ضلع را در رابطه بالا قرار می‌دهیم:

4 × 4 = مساحت مربع

16 = مساحت مربع

در نتیجه، مساحت مربع برابر 16 متر مربع است.

مثال 2: محاسبه مساحت مربع از روی محیط آن

مساحت مربعی به محیط 64 سانتی‌متر مربع را حساب کنید.

محیط مربع، اندازه دور آن یا مجموع اندازه ضلع‌های آن است. فرمول محیط مربع به صورت زیر نوشته می‌شود:

ضلع + ضلع + ضلع + ضلع = محیط مربع

به دلیل برابر بودن اندازه هر چهار ضلع، می‌توانیم فرمول محیط مربع را به شکل زیر بنویسیم:

ضلع × 4 = محیط مربع

ضلع × 4 = 64

4 ÷ 64 = ضلع

16 = ضلع

بنابراین اندازه مربع برابر 16 سانتی‌متر است. با داشتن اندازه ضلع، امکان محاسبه مساحت مربع توسط رابطه زیر فراهم می‌شود:

خودش × یک ضلع = مساحت مربع

16 × 16 = مساحت مربع

256 = مساحت مربع

در نتیجه، مساحت مربعی به محیط 64 سانتی‌متر برابر 256 سانتی‌‌متر مربع است.

عبارت جبری مساحت مربع چیست؟

عبارت جبری مساحت مربع به صورت زیر نوشته می‌شود:

$$A=a\times a$$

در فرمول بالا، حرف A، مساحت مربع و حرف a، ضلع مربع را نمایش می‌دهد. فرمول مساحت مربع را می‌توانیم به شکل زیر نیز بنویسیم:

$$A=a^2$$

به عبارت دیگر، مساحت مربع برابر توان 2 ضلع یا مجذور ضلع است.

مثال 3: محاسبه مساحت مربع با فرمول ریاضی

مساحت مربعی به ضلع 10 میلی‌متر را حساب کنید.

فرمول مساحت مربع عبارت است از:

$$A=a^2$$

• A: مساحت مربع
• a: اندازه ضلع مربع برابر 10 میلی‌متر

اندازه معلوم را درون فرمول قرار می‌دهیم:

$$A={10}^2$$

$$A=10\times 10$$

$$A=100$$

در نتیجه، مساحت مربع برابر 100 میلی‌متر مربع است.

فرمول مساحت مربع بر حسب قطر چیست ؟

فرمول مساحت مربع بر حسب قطر برابر «اندازه قطر ضربدر خودش تقسیم بر دو» است. یکی از روش‌های دیگر محاسبه مساحت مربع، استفاده از اندازه قطر آن است.

قطر مربع، پاره‌خطی است که دو راس غیر مجاور (گوشه‌های مقابل) آن را به یکدیگر وصل می‌کند. مربع، دو قطر با اندازه‌های برابر دارد که همدیگر را با زاویه 90 نصف می‌کنند.

فرمول مساحت مربع با قطر به صورت زیر نوشته می‌شود:

2 ÷ (خودش × قطر) = مساحت مربع

عبارت جبری مساحت مربع با قطر برابر است با:

$$A={\mathrm{½d}}^{}$$

• A: مساحت مربع
• d: اندازه قطر مربع

مثال 4: محاسبه مساحت مربع توسط قطر

مساحت مربعی به قطر 5 سانتی‌متر را حساب کنید.

به دلیل مشخص بودن اندازه قطر، فرمول مساحت مربع با قطر را می‌نویسیم و اندازه معلوم را درون آن قرار می‌دهیم:

$$A=d^{}$$

• A: مساحت مربع
• d: اندازه قطر مربع برابر 5 سانتی‌متر

$$A=½\times 5^{}$$

$$A=\times 25$$

$$A=$$

$$A=12.5$$

در نتیجه، مساحت مربع با توجه قطر 5 سانتی‌متری آن برابر 12/5 سانتی‌متر مربع است.

حل مثال مساحت مربع

در این بخش، به حل چند مثال بیشتر برای مرور فرمول‌های مساحت مربع می‌پردازیم.

مثال 5: مقایسه مساحت مربع‌ها

جدول زیر، اندازه ضلع چند مربع را نمایش می‌دهد. مساحت هر مربع را حساب کنید. آیا مساحت مربع با ضلع آن متناسب است.

مساحت هر یک از مربع‌ها را در جدول زیر حساب کرده‌ایم.

برای اینکه بفهمیم آیا مساحت مربع با ضلع آن متناسب است، باید نسبت ضلع به مساحت در هر یک از مربع‌ها را حساب کرده و با هم مقایسه کنیم.

همان طور که مشاهده می‌کنید، نسبت ضلع به مساحت در مربع‌های مختلف تغییر می‌کند. از این مثال می‌توانیم نتیجه بگیریم که برخلاف محیط و ضلع، مساحت و ضلع مربع متناسب نیستند.

مثال 6: محاسبه محیط مربع از روی مساحت

محیط مربعی به مساحت 64 سانتی‌متر مربع چقدر است؟

برای شروع حل این مثال، فرمول مساحت مربع با ضلع را می‌نویسیم:

$$A=a^{}$$

• A: مساحت برابر 64 سانتی‌متر مربع
• a: اندازه ضلع

$${}^{}$$$$={}^{}$$$$64$$

برای تعیین ضلع مربع از روی مساحت آن، از مفهوم جذر استفاده می‌کنیم:

$$a=\sqrt{64}$$

$$a=8$$

اندازه ضلع مربعی به مساحت 64 سانتی‌متر مربع برابر 8 سانتی‌متر است. محیط مربع با جمع اندازه هر چهار ضلع آن محاسبه می‌شود:

ضلع + ضلع + ضلع + ضلع = محیط مربع

هر چهار ضلع مربع، هم‌اندازه و برابر 8 سانتی‌متر هستند:

8 + 8 + 8 + 8 = محیط مربع

32 = محیط مربع

در نتیجه، محیط مربع برابر 32 سانتی‌متر است. در صورت مشخص بودن اندازه مساحت یا محیط مربع، می‌توان اندازه دیگر را به طور مستقیم و با استفاده از رابطه زیر به دست آورد:

$$A=\frac{\mathrm{1/}}{16}{P}^{}$$

• A: مساحت مربع
• P: محیط مربع

مثال 7: مساحت بخش رنگی مربع

مساحت قسمت رنگی مربع زیر را به دست بیاورید.

در تصویر بالا، خط اتصال دهنده راس‌های مربع، آن را به دو مثلث تقسیم کرده است. برای محاسبه مساحت قسمت رنگی (مساحت یکی از مثلث‌‌ها)، دو روش وجود دارد.

روش اول: محاسبه مساحت قسمت رنگی توسط فرمول مساحت مربع با قطر

خط اتصال دهنده راس‌های مربع، قطر آن است. با رسم یک قطر، مربع به دو مثلث مساوی تبدیل می‌شود. به عبارت دیگر، مساحت قسمت رنگی برابر نصف مساحت مربع است. بنابراین، فرمول مساحت مربع با قطر را می‌نویسیم:

$$A=d^{}$$

• A: مساحت مربع
• d: اندازه قطر مربع برابر 12

$$A=\times {12}^{}$$

$$A=\times 144$$

$$A=7$$

مساحت مربع کامل برابر 72 است. در نتیجه، مساحت قسمت رنگی به صورت زیر محاسبه می‌شود:

2 ÷ مساحت مربع = مساحت قسمت رنگی

36 = مساحت قسمت رنگی

روش دوم: محاسبه مساحت قسمت رنگی با فرمول مساحت مثلث

مساحت مثلث برابر «ارتفاع ضربدر قاعده تقسیم بر دو» است. در شکل، قطر مربع (12) را به عنوان قاعده مثلث در نظر می‌گیریم. برای تعیین ارتفاع مثلث، قطر دیگر مربع را رسم می‌کنیم.

قطرهای مربع با هم برابر و عمود منصف یکدیگرند. به عبارت دیگر، اندازه قطری که در تصویر بالا رسم کردیم، برابر 12 بوده که به دو بخش با اندازه‌های 6 تقسیم شده است. یعنی قاعده مثلث رنگی برابر 23 و ارتفاع آن برابر 6 است. مطابق با فرمول مساحت مثلث داریم:

2 ÷ (ارتفاع × قاعده) = مساحت مثلث

2÷ (6 × 12) = مساحت قسمت رنگی

2 ÷ (72) = مساحت قسمت رنگی

36 = مساحت قسمت رنگی